Площадь шестиугольника через диагональ

Гексагон

Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.

Шестиугольник – это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.

Выпуклый шестиугольник – это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.

Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 – 2 ) = 720 градусов.

При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.

Свойства правильного шестиугольника

все внутренние углы равны между собой
каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
все стороны равны между собой
сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt <3>) раз больше его стороны.
vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60° .

Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ) :

Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)

Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:

(r = m = alargefrac<><2>normalsize)

Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

Периметр правильного шестиугольника

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

(S = pr = largefrac<<3sqrt 3 >><2>normalsize),
где (p) − полупериметр шестиугольника.

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник – выпуклый шестиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

(blacktriangleright) Каждый угол правильного шестиугольника равен (120^circ) .

(blacktriangleright) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

(blacktriangleright) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на (6) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

(blacktriangleright) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

(blacktriangleright) Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна [S=dfrac<3sqrt3>2a^2]

К окружности, описанной около правильного шестиугольника (ABCDEF) , в точке (A) проведена касательная. Найдите угол между этой касательной и прямой (AD) . Ответ дайте в градусах.

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке (AD) , то есть (AD) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и (AD) равен (90^circ) .

Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен (sqrt<12>) . Найдите радиус описанной около этого шестиугольника окружности.

По свойству правильного шестиугольника радиус (r) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне (a) . Тогда из прямоугольного треугольника:

[a^2=left(frac a2right)^2+r^2 quad Rightarrow quad a=dfrac 2,r quadRightarrow quad a=dfrac2cdot sqrt<12>=4]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен (4) .

Периметр правильного шестиугольника равен (72) . Найдите диаметр описанной окружности.

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

Так как угол правильного шестиугольника равен (180^circ(6-2):6=120^circ) , а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, (angle BAO=angle ABO=60^circ) , следовательно, (triangle ABO) – равносторонний. То есть радиус окружности равен (AO) и равен (AB) . Так как периметр шестиугольника равен (72) , то его сторона равна (72:6=12) . Тогда диаметр описанной окружности равен (2cdot 12=24) .

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной (sqrt3) .

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r) , где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (S=dfrac<3sqrt3>2a^2) , полупериметр равен (3a) , тогда [dfrac<3sqrt3>2cdot (sqrt3)^2=3sqrt3cdot rquadRightarrowquad r=1,5]

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен (sqrt3) .

Площадь правильного шестиугольника равна (24sqrt3) . Найдите длину его большей диагонали.

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если (AB=a) , то (AD=BF=CE=2a) .

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна (frac4 a^2) , то площадь всего шестиугольника равна

[S=6cdot dfrac4a^2=24sqrt3 quad Rightarrow quad a=4 quad Rightarrow quad AD=2a=8.]

Около правильного шестиугольника (ABCDEF) описана окружность с центром в точке (O) . Расстояние от точки (O) до одной из его сторон равно (4sqrt<3>) . Найдите радиус этой окружности.

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

(OK) – высота в треугольнике (AOF) , опущенная из (O) . Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то (OK = 4sqrt<3>) .
Пусть (R) – радиус описанной окружности, тогда (OF = R) , (KF = 0,5R) (так как (OK) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора (R^2 = (0,5R)^2 + (4sqrt<3>)^2) , откуда (R = 8) .

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме «Параллелограмм в ЕГЭ». Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Калькулятор площади шестиугольника

Шестиугольник или гексагон — это правильный многоугольник, у которого стороны равны между собой, а каждый угол равен строго 120 градусов. Гексагон иногда встречается в человеческой повседневности, поэтому вам может понадобиться вычислить его площадь не только в школьных задачах, но и в реальной жизни.

Выпуклый шестиугольник

Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:

S = 2,59 R 2 = 2,59 a 2 .

Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:

Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.

Гексаграмма

Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.

Шестиугольные числа

В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.

Шестиугольник в реальности

Гексагоны часто встречаются в реальной жизни. К примеру, сечения гаек или карандашей имеют шестиугольную форму, благодаря чему обеспечивается удобный обхват предмета. Шестиугольник — это эффективная геометрическая фигура, способная замостить плоскость без пробелов и наложений. Именно поэтому шестиугольную форму часто имеют декоративные отделочные материалы, например, кафельная и тротуарная плитка или гипсокартонные панели.

Эффективность гексагона делает его популярным и в природе. Пчелиные соты обладают именно шестиугольной формой, благодаря которой пространство улья заполняется без пробелов. Еще одним примером гексагонального замощения плоскости является Тропа Великанов — памятник живой природы, сформированный во время извержения вулкана. Вулканический пепел был спрессован в шестиугольные колонны, которые замостили поверхность побережья Северной Ирландии.

Упаковка кругов на плоскости

И еще немного об эффективности гексагона. Упаковка шаров — классическая задача комбинаторной геометрии, которая требует найти оптимальный способ укладки непересекающихся шаров. На практике такая задача превращается в логистическую проблему упаковки апельсинов, яблок, пушечных ядер или любых других шарообразных объектов, которые требуется уложить максимально плотно. Гескагон — решение данной проблемы.

Известно, что наиболее эффективным расположением кругов в двухмерном пространстве является размещение центров окружностей на вершинах шестиугольников, которые заполняют плоскость без пробелов. В трехмерной реальности задача размещения шаров решается путем гексагональной укладки объектов.

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить площадь правильного шестиугольника, зная его сторону или радиусы соответствующих окружностей. Давайте попробуем вычислить площади гексагонов на реальных примерах.

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:

Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.

Гексагональные шахматы

Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:

Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.

Заключение

Шестиугольник часто встречается в реальности, хотя мы и не замечаем этого. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета площадей гексагонов при решении повседневных или школьных задач.

Шестиугольник, виды, свойства и формулы

Шестиугольник, виды, свойства и формулы.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:

Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.

Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.

Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Рис. 1. Выпуклый шестиугольник

Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.

Правильный шестиугольник (понятие и определение):

Правильный шестиугольник (гексагон) – это правильный многоугольник с шестью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный шестиугольник – это шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет 6 сторон, 6 углов и 6 вершин.

Углы правильного шестиугольника образуют шесть равносторонних треугольников .

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой.

2. Все углы равны между собой и составляют 120°.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

3. Сумма внутренних углов любого правильного шестиугольника равна 720°.

4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного шестиугольника O.

Рис. 5. Правильный шестиугольник

5. Количество диагоналей правильного шестиугольника равно 9.

Рис. 6. Правильный шестиугольник

6. Центр вписанной окружности O₁ совпадает с центром описанной окружности O₂, что и образуют центр многоугольника O.

Рис. 7. Правильный шестиугольник

7. Правильные шестиугольники замощают плоскость (то есть могут заполнять плоскость без пробелов и наложений).

8. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника и его сторона равны.

Рис. 8. Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре:

Пчелиные соты имеют форму правильного шестиугольника.

Гигантский гексагон – атмосферное явление на Сатурне – имеет форму правильного шестиугольника.

Рис. 9. Гигантский гексагон на Сатурне

Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.

Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.

Панцирь черепахи состоит из шестиугольников.

Гексагоном иногда называют материковую часть Франции , потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.

Рис. 10. Материковая часть Франции

Формулы правильного шестиугольника:

Пусть a – сторона шестиугольника, r – радиус окружности, вписанной в шестиугольник, R – радиус описанной окружности шестиугольника, P – периметр шестиугольника, S – площадь шестиугольника.

Формулы периметра правильного шестиугольника:

Формулы площади правильного шестиугольника:

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный шестиугольник:

Формула радиуса окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника:

Звездчатый шестиугольник:

Звездчатый шестиугольник (гексаграмма) – это многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника.

Гексаграмма (др.-греч. ἕξ – «шесть» и γραμμή – «черта, линия») – это звезда с шестью углами, которая образуется из двух наложенных друг на друга равносторонних треугольников.

голоса

Рейтинг статьи

Читать еще: Поплавковый клапан для емкости или бака